** Longueur d'un ressort

Partie 1

On considère un ressort de longueur 40 mm. On admet que l'allongement du ressort est proportionnel à la masse accrochée. Lorsqu'on suspend une masse de 30 g à ce ressort, celui-ci s'allonge de 10 mm.

On note \(L\) la fonction qui, à une masse \(m\), en grammes, associe la longueur \(L(x)\) du ressort, en millimètres.

1. Quel est la longueur du ressort lorsqu'on suspend une masse de 90 g ?
2. On considère une masse \(x\), en grammes. Exprimer, en fonction de \(x\), la longueur du ressort \(L(x)\).
3. Soit \(k\) un réel strictement positif. On définit la raideur \(k\) d'un ressort comme étant l'inverse du taux d'accroissement de \(L\). Quelle est la raideur du ressort de longueur 40 mm ?

Partie 2

De manière générale, on considère un ressort de longueur initiale \(L_0\), en mm, et de raideur \(k>0\). On suspend une masse \(x\), en grammes, à ce ressort. Quelle est l'expression de la longueur \(L(x)\) du ressort en fonction de \(L_0, k\) et \(x\) ?